初項から第3項までの和が13、初項から第6項までの和が364である等比数列 ${a_n}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。ただし、公比は実数とします。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が13、初項から第6項までの和が364である等比数列 ${a_n}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。ただし、公比は実数とします。

2. 解き方の手順

初項を $a$ 、公比を $r$ とすると、等比数列の和の公式より、

初項から第3項までの和は、

$S_3 = \frac{a(1-r^3)}{1-r} = 13$

初項から第6項までの和は、

$S_6 = \frac{a(1-r^6)}{1-r} = 364$

$S_6$ を $S_3$ で割ると、

$\frac{S_6}{S_3} = \frac{a(1-r^6)}{1-r} / \frac{a(1-r^3)}{1-r} = \frac{1-r^6}{1-r^3} = \frac{(1-r^3)(1+r^3)}{1-r^3} = 1+r^3 = \frac{364}{13} = 28$

したがって、

$r^3 = 27$

$r = 3$

$r=3$ を $S_3$ の式に代入すると、

$\frac{a(1-3^3)}{1-3} = \frac{a(1-27)}{-2} = \frac{-26a}{-2} = 13a = 13$

$a = 1$

したがって、一般項 $a_n$ は、

$a_n = a \cdot r^{n-1} = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3^{n-1}$