初項から第3項までの和が78、第2項から第4項までの和が234である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が78、第2項から第4項までの和が234である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とすると、問題文より以下の式が成り立つ。

初項から第3項までの和:

$a + ar + ar^2 = 78$

第2項から第4項までの和:

$ar + ar^2 + ar^3 = 234$

2番目の式を1番目の式で割ると、

$\frac{ar + ar^2 + ar^3}{a + ar + ar^2} = \frac{234}{78}$

$\frac{ar(1 + r + r^2)}{a(1 + r + r^2)} = 3$

$r = 3$

これを最初の式に代入すると、

$a + 3a + 9a = 78$

$13a = 78$

$a = 6$

したがって、一般項 $a_n$ は、

$a_n = ar^{n-1} = 6 \cdot 3^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 6 \cdot 3^{n-1}$