第3項が6、初項から第3項までの和が78である等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。ただし、公比は正の実数とする。

1. 問題の内容

第3項が6、初項から第3項までの和が78である等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。ただし、公比は正の実数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$ 、公比を $r$ とすると、第3項は $ar^2$ と表されるので、

$ar^2 = 6$

初項から第3項までの和は $a + ar + ar^2$ と表されるので、

$a + ar + ar^2 = 78$

$ar^2 = 6$ を $a + ar + ar^2 = 78$ に代入すると、

$a + ar + 6 = 78$

$a + ar = 72$

$a(1+r) = 72$

$a = \frac{72}{1+r}$

これを $ar^2 = 6$ に代入すると、

$\frac{72}{1+r} r^2 = 6$

$72r^2 = 6(1+r)$

$12r^2 = 1+r$

$12r^2 - r - 1 = 0$

$(3r-1)(4r+1) = 0$

$r = \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}$

公比は正の実数なので、$r = \frac{1}{3}$

$a = \frac{72}{1+\frac{1}{3}} = \frac{72}{\frac{4}{3}} = 72 \cdot \frac{3}{4} = 18 \cdot 3 = 54$

したがって、初項 $a = 54$ 、公比 $r = \frac{1}{3}$ である。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{54(1-(\frac{1}{3})^n)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{54(1-(\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}} = 54 \cdot \frac{3}{2} (1-(\frac{1}{3})^n) = 27 \cdot 3 (1-(\frac{1}{3})^n) = 81(1-(\frac{1}{3})^n)$

3. 最終的な答え

$S_n = 81(1-(\frac{1}{3})^n)$