2次曲線の方程式 $x_1^2 + 10\sqrt{3}x_1x_2 + 11x_2^2 = 8$ の解を求める問題です。

## 問題１

1. 問題の内容

2次曲線の方程式 $x_1^2 + 10\sqrt{3}x_1x_2 + 11x_2^2 = 8$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2次形式の行列表示

与えられた方程式は、$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ とおくと、$x^T A x = 8$ と書けます。ここで、$A$ は

$A = \begin{pmatrix} 1 & 5\sqrt{3} \\ 5\sqrt{3} & 11 \end{pmatrix}$

です。

(2) 行列 $A$ の固有値と固有ベクトルの計算

$A$ の固有方程式は

$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(11-\lambda) - (5\sqrt{3})^2 = \lambda^2 - 12\lambda + 11 - 75 = \lambda^2 - 12\lambda - 64 = (\lambda - 16)(\lambda + 4) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 16$, $\lambda_2 = -4$ です。

固有値 $\lambda_1 = 16$ に対する固有ベクトルを求めます。

$(A - 16I)v = 0$ より

$\begin{pmatrix} -15 & 5\sqrt{3} \\ 5\sqrt{3} & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-15v_1 + 5\sqrt{3}v_2 = 0$ から $v_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}v_2$. よって、固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 3 \end{pmatrix}$ となります。規格化すると $\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2}}\begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{12}} \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$.

固有値 $\lambda_2 = -4$ に対する固有ベクトルを求めます。

$(A + 4I)w = 0$ より

$\begin{pmatrix} 5 & 5\sqrt{3} \\ 5\sqrt{3} & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$5w_1 + 5\sqrt{3}w_2 = 0$ から $w_1 = -\sqrt{3}w_2$. よって、固有ベクトルは $w_2 = \begin{pmatrix} -\sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。規格化すると $\frac{1}{\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2}}\begin{pmatrix} -\sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{4}} \begin{pmatrix} -\sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{pmatrix}$.

(3) 座標変換

$P = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}$ とおくと、$x = Py$ ($y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$) によって、$x^T A x = y^T (P^T A P) y = y^T \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} y = 16y_1^2 - 4y_2^2 = 8$ となります。

よって、$2y_1^2 - \frac{1}{2}y_2^2 = 1$ という双曲線の方程式が得られます。

3. 最終的な答え

与えられた方程式は、座標変換によって $2y_1^2 - \frac{1}{2}y_2^2 = 1$ という双曲線になる。

## 問題２

1. 問題の内容

2次曲線の方程式 $5x_1^2 - 6x_1x_2 + 5x_2^2 - 8\sqrt{5}(x_1 - x_2) + 16 = 0$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 平方完成による平行移動

与えられた方程式を $x_1, x_2$ について平方完成することを考えます。まず、$5x_1^2 - 6x_1x_2 + 5x_2^2$ の部分を考えます。

$5x_1^2 - 6x_1x_2 + 5x_2^2 = 5(x_1^2 - \frac{6}{5}x_1x_2) + 5x_2^2 = 5(x_1 - \frac{3}{5}x_2)^2 - 5(\frac{3}{5}x_2)^2 + 5x_2^2 = 5(x_1 - \frac{3}{5}x_2)^2 - \frac{9}{5}x_2^2 + 5x_2^2 = 5(x_1 - \frac{3}{5}x_2)^2 + \frac{16}{5}x_2^2$

よって、

$5(x_1 - \frac{3}{5}x_2)^2 + \frac{16}{5}x_2^2 - 8\sqrt{5}(x_1 - x_2) + 16 = 0$

$5(x_1 - \frac{3}{5}x_2)^2 + \frac{16}{5}x_2^2 - 8\sqrt{5}(x_1 - \frac{3}{5}x_2 - \frac{2}{5}x_2) + 16 = 0$

$5(x_1 - \frac{3}{5}x_2)^2 - 8\sqrt{5}(x_1 - \frac{3}{5}x_2) + \frac{16}{5}x_2^2 + \frac{16\sqrt{5}}{5}x_2 + 16 = 0$

ここで、$u = x_1 - \frac{3}{5}x_2$, $v = x_2$ とおくと、

$5u^2 - 8\sqrt{5}u + \frac{16}{5}v^2 + \frac{16\sqrt{5}}{5}v + 16 = 0$

$5(u^2 - \frac{8}{\sqrt{5}}u) + \frac{16}{5}(v^2 + \sqrt{5}v) + 16 = 0$

$5(u - \frac{4}{\sqrt{5}})^2 - 5(\frac{4}{\sqrt{5}})^2 + \frac{16}{5}(v + \frac{\sqrt{5}}{2})^2 - \frac{16}{5}(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 + 16 = 0$

$5(u - \frac{4}{\sqrt{5}})^2 + \frac{16}{5}(v + \frac{\sqrt{5}}{2})^2 - 5(\frac{16}{5}) - \frac{16}{5}(\frac{5}{4}) + 16 = 0$

$5(u - \frac{4}{\sqrt{5}})^2 + \frac{16}{5}(v + \frac{\sqrt{5}}{2})^2 - 16 - 4 + 16 = 0$

$5(u - \frac{4}{\sqrt{5}})^2 + \frac{16}{5}(v + \frac{\sqrt{5}}{2})^2 = 4$

$\frac{(u - \frac{4}{\sqrt{5}})^2}{4/5} + \frac{(v + \frac{\sqrt{5}}{2})^2}{5/4} = 1$

(2) 座標変換

$U = u - \frac{4}{\sqrt{5}}$, $V = v + \frac{\sqrt{5}}{2}$ とおくと、

$\frac{U^2}{4/5} + \frac{V^2}{5/4} = 1$

これは楕円の方程式を表します。

(3) 元の座標に戻す

$U = x_1 - \frac{3}{5}x_2 - \frac{4}{\sqrt{5}}$, $V = x_2 + \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

与えられた方程式は、座標変換によって $\frac{U^2}{4/5} + \frac{V^2}{5/4} = 1$ という楕円になる。ここで、$U = x_1 - \frac{3}{5}x_2 - \frac{4}{\sqrt{5}}$, $V = x_2 + \frac{\sqrt{5}}{2}$.