与えられた複素数を極形式で表す問題（1）～（3）と、与えられた数のべき根を全て求め、複素平面上に図示する問題（4）～（5）です。

1. 問題の内容

与えられた複素数を極形式で表す問題（1）～（3）と、与えられた数のべき根を全て求め、複素平面上に図示する問題（4）～（5）です。

2. 解き方の手順

(1) -1を極形式で表す。

-1は複素平面上で実軸の負の方向に1だけ進んだ点なので、絶対値は1、偏角は$\pi$となる。

したがって、 $-1 = 1(\cos \pi + i \sin \pi)$.

(2) $\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4}$を極形式で表す。

まず、 $1+i$ と $1-i$ を極形式で表す。

$1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$

$1-i = \sqrt{2}(\cos (-\frac{\pi}{4}) + i \sin (-\frac{\pi}{4}))$

$(1+i)^6 = (\sqrt{2})^6 (\cos \frac{6\pi}{4} + i \sin \frac{6\pi}{4}) = 8(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}) = 8(0 - i) = -8i$

$(1-i)^4 = (\sqrt{2})^4 (\cos (-\frac{4\pi}{4}) + i \sin (-\frac{4\pi}{4})) = 4(\cos (-\pi) + i \sin (-\pi)) = 4(-1 + 0) = -4$

したがって、 $\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4} = \frac{-8i}{-4} = 2i$.

$2i = 2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$

(3) $(\cos \frac{4\pi}{9} + i \cos \frac{\pi}{18}) (\sin \frac{4\pi}{9} + i \sin \frac{\pi}{18})$を極形式で表す。

与えられた式は少し間違っているようです。正しくは、

$(\cos \frac{4\pi}{9} + i \sin \frac{\pi}{18}) (\sin \frac{4\pi}{9} + i \sin \frac{\pi}{18})$ではないかと思います。

しかし、ここでは画像の通りに解きます。

積を計算すると、

$(\cos \frac{4\pi}{9} + i \cos \frac{\pi}{18}) (\sin \frac{4\pi}{9} + i \sin \frac{\pi}{18}) = \cos \frac{4\pi}{9} \sin \frac{4\pi}{9} - \cos \frac{\pi}{18} \sin \frac{\pi}{18} + i(\cos \frac{\pi}{18} \sin \frac{4\pi}{9} + \cos \frac{4\pi}{9} \sin \frac{\pi}{18})$

$= \frac{1}{2} \sin \frac{8\pi}{9} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{9} + i(\sin (\frac{4\pi}{9} + \frac{\pi}{18})) = \frac{1}{2}(\sin \frac{8\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9}) + i \sin \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}(\sin \frac{8\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9}) + i \sin \frac{\pi}{2}$

$(\cos \frac{4\pi}{9} + i \sin \frac{\pi}{18}) (\sin \frac{4\pi}{9} + i \sin \frac{\pi}{18})$とした場合

$\cos \frac{4\pi}{9} + i \sin \frac{\pi}{18}$の部分がおかしいです。$\cos$と$\sin$の中身が違うと、ド・モアブルの定理が使えません。

(4) $\sqrt[3]{64}$を求める。

$64 = 64(\cos 0 + i \sin 0)$

$\sqrt[3]{64} = 4(\cos \frac{2k\pi}{3} + i \sin \frac{2k\pi}{3})$, $k=0, 1, 2$

$k=0: 4(\cos 0 + i \sin 0) = 4$

$k=1: 4(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) = 4(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + 2\sqrt{3}i$

$k=2: 4(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}) = 4(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 - 2\sqrt{3}i$

答えは $4, -2+2\sqrt{3}i, -2-2\sqrt{3}i$

(5) $\sqrt[6]{-i}$を求める。

$-i = 1(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2})$

$\sqrt[6]{-i} = 1(\cos (\frac{\frac{3\pi}{2} + 2k\pi}{6}) + i \sin (\frac{\frac{3\pi}{2} + 2k\pi}{6})) = (\cos (\frac{3\pi + 4k\pi}{12}) + i \sin (\frac{3\pi + 4k\pi}{12}))$, $k=0, 1, 2, 3, 4, 5$

$k=0: \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$

$k=1: \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12}$

$k=2: \cos \frac{11\pi}{12} + i \sin \frac{11\pi}{12}$

$k=3: \cos \frac{15\pi}{12} + i \sin \frac{15\pi}{12} = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}$

$k=4: \cos \frac{19\pi}{12} + i \sin \frac{19\pi}{12}$

$k=5: \cos \frac{23\pi}{12} + i \sin \frac{23\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $-1 = 1(\cos \pi + i \sin \pi)$

(2) $\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4} = 2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$

(3) $\frac{1}{2}(\sin \frac{8\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9}) + i \sin \frac{\pi}{2}$

(4) $\sqrt[3]{64} = 4, -2+2\sqrt{3}i, -2-2\sqrt{3}i$

(5) $\sqrt[6]{-i} = \cos (\frac{3\pi + 4k\pi}{12}) + i \sin (\frac{3\pi + 4k\pi}{12})$, $k=0, 1, 2, 3, 4, 5$