与えられた漸化式と初期条件から、数列$\{a_n\}$の一般項を求める。 (1) $a_1 = 2, \quad a_{n+1} = 3a_n - 2$ (2) $a_1 = 5, \quad a_{n+1} = 8 + 5a_n$ (3) $a_1 = 1, \quad a_{n+1} = \frac{a_n}{4} + 1$ (4) $a_1 = 2, \quad 3a_{n+1} + 2a_n + 15 = 0$

1. 問題の内容

与えられた漸化式と初期条件から、数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

(1) $a_1 = 2, \quad a_{n+1} = 3a_n - 2$

(2) $a_1 = 5, \quad a_{n+1} = 8 + 5a_n$

(3) $a_1 = 1, \quad a_{n+1} = \frac{a_n}{4} + 1$

(4) $a_1 = 2, \quad 3a_{n+1} + 2a_n + 15 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = 3a_n - 2$ の解法：

この漸化式は、特性方程式 $x = 3x - 2$ を解くことで $x = 1$ を得る。

これにより、漸化式は次のように変形できる。

$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$

$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ であり、$b_1 = a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$ である。

よって、$b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$

$a_n = b_n + 1$ なので、$a_n = 3^{n-1} + 1$

(2) $a_{n+1} = 8 + 5a_n$ の解法：

この漸化式は、特性方程式 $x = 8 + 5x$ を解くことで $x = -2$ を得る。

これにより、漸化式は次のように変形できる。

$a_{n+1} + 2 = 5(a_n + 2)$

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 5b_n$ であり、$b_1 = a_1 + 2 = 5 + 2 = 7$ である。

よって、$b_n = 7 \cdot 5^{n-1}$

$a_n = b_n - 2$ なので、$a_n = 7 \cdot 5^{n-1} - 2$

(3) $a_{n+1} = \frac{a_n}{4} + 1$ の解法：

この漸化式は、特性方程式 $x = \frac{x}{4} + 1$ を解くことで $x = \frac{4}{3}$ を得る。

これにより、漸化式は次のように変形できる。

$a_{n+1} - \frac{4}{3} = \frac{1}{4}(a_n - \frac{4}{3})$

$b_n = a_n - \frac{4}{3}$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{1}{4}b_n$ であり、$b_1 = a_1 - \frac{4}{3} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$ である。

よって、$b_n = -\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$

$a_n = b_n + \frac{4}{3}$ なので、$a_n = -\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4})^{n-1} + \frac{4}{3}$

(4) $3a_{n+1} + 2a_n + 15 = 0$ の解法：

$3a_{n+1} = -2a_n - 15$ なので、$a_{n+1} = -\frac{2}{3}a_n - 5$

この漸化式は、特性方程式 $x = -\frac{2}{3}x - 5$ を解くことで $x = -3$ を得る。

これにより、漸化式は次のように変形できる。

$a_{n+1} + 3 = -\frac{2}{3}(a_n + 3)$

$b_n = a_n + 3$ とおくと、$b_{n+1} = -\frac{2}{3}b_n$ であり、$b_1 = a_1 + 3 = 2 + 3 = 5$ である。

よって、$b_n = 5 \cdot (-\frac{2}{3})^{n-1}$

$a_n = b_n - 3$ なので、$a_n = 5 \cdot (-\frac{2}{3})^{n-1} - 3$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3^{n-1} + 1$

(2) $a_n = 7 \cdot 5^{n-1} - 2$

(3) $a_n = -\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4})^{n-1} + \frac{4}{3}$

(4) $a_n = 5 \cdot (-\frac{2}{3})^{n-1} - 3$