与えられた数のべき根を全て求め、複素平面上に図示する問題です。 (1) $\sqrt[3]{64}$ の3乗根を求める。 (2) $\sqrt[6]{-i}$ の6乗根を求める。

1. 問題の内容

与えられた数のべき根を全て求め、複素平面上に図示する問題です。

(1) $\sqrt[3]{64}$ の3乗根を求める。

(2) $\sqrt[6]{-i}$ の6乗根を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[3]{64}$ の場合：

まず、64を極形式で表します。$64 = 64(\cos 0 + i\sin 0)$です。

次に、ド・モアブルの定理を利用して、3乗根を求めます。

$z_k = \sqrt[3]{64} \left( \cos \frac{0 + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{0 + 2\pi k}{3} \right)$ (ここで $k = 0, 1, 2$)

$k=0$ のとき、$z_0 = 4 (\cos 0 + i \sin 0) = 4$

$k=1$ のとき、$z_1 = 4 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -2 + 2\sqrt{3}i$

$k=2$ のとき、$z_2 = 4 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -2 - 2\sqrt{3}i$

(2) $\sqrt[6]{-i}$ の場合：

まず、$-i$を極形式で表します。$-i = \cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2}$ です。

次に、ド・モアブルの定理を利用して、6乗根を求めます。

$z_k = \left( \cos \frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}{6} + i \sin \frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}{6} \right)$ (ここで $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$)

$z_k = \cos \left( \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi k}{6} \right) + i \sin \left( \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi k}{6} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3} \right)$

$k=0$ のとき、$z_0 = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$

$k=1$ のとき、$z_1 = \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12}$

$k=2$ のとき、$z_2 = \cos \frac{11\pi}{12} + i \sin \frac{11\pi}{12}$

$k=3$ のとき、$z_3 = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}$

$k=4$ のとき、$z_4 = \cos \frac{19\pi}{12} + i \sin \frac{19\pi}{12}$

$k=5$ のとき、$z_5 = \cos \frac{23\pi}{12} + i \sin \frac{23\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[3]{64}$ の3乗根： $4, -2 + 2\sqrt{3}i, -2 - 2\sqrt{3}i$

(2) $\sqrt[6]{-i}$ の6乗根：

$\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$,

$\cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12}$,

$\cos \frac{11\pi}{12} + i \sin \frac{11\pi}{12}$,

$-\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}$,

$\cos \frac{19\pi}{12} + i \sin \frac{19\pi}{12}$,

$\cos \frac{23\pi}{12} + i \sin \frac{23\pi}{12}$