与えられた複素数を極形式で表す問題です。具体的には、(1) -1, (2) $\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4}$, (3) $(\cos \frac{4\pi}{9} + i\cos \frac{\pi}{18})(\sin \frac{4\pi}{9} + i\sin \frac{\pi}{18})$の3つの複素数を極形式で表します。

1. 問題の内容

与えられた複素数を極形式で表す問題です。具体的には、(1) -1, (2) $\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4}$, (3) $(\cos \frac{4\pi}{9} + i\cos \frac{\pi}{18})(\sin \frac{4\pi}{9} + i\sin \frac{\pi}{18})$の3つの複素数を極形式で表します。

2. 解き方の手順

(1) -1の極形式

-1は実数であり、複素平面上では実軸の負の方向に位置します。

絶対値は $|-1| = 1$です。

偏角は $\pi$です。

したがって、極形式は $1(\cos \pi + i\sin \pi)$となります。

(2) $\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4}$の極形式

まず、 $1+i$ と $1-i$ を極形式で表します。

$1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})$

$1-i = \sqrt{2}(\cos (-\frac{\pi}{4}) + i\sin (-\frac{\pi}{4}))$

次に、$(1+i)^6$ と $(1-i)^4$ を計算します。

$(1+i)^6 = (\sqrt{2})^6 (\cos \frac{6\pi}{4} + i\sin \frac{6\pi}{4}) = 8(\cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2}) = 8(0 - i) = -8i$

$(1-i)^4 = (\sqrt{2})^4 (\cos (-\frac{4\pi}{4}) + i\sin (-\frac{4\pi}{4})) = 4(\cos (-\pi) + i\sin (-\pi)) = 4(-1 + 0) = -4$

したがって、

$\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4} = \frac{-8i}{-4} = 2i$

$2i$ の絶対値は $|2i| = 2$です。

偏角は $\frac{\pi}{2}$です。

したがって、極形式は $2(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2})$となります。

(3) $(\cos \frac{4\pi}{9} + i\cos \frac{\pi}{18})(\sin \frac{4\pi}{9} + i\sin \frac{\pi}{18})$の極形式

$(\cos \frac{4\pi}{9} + i\cos \frac{\pi}{18})(\sin \frac{4\pi}{9} + i\sin \frac{\pi}{18}) = (\cos \frac{4\pi}{9} \sin \frac{4\pi}{9} - \cos \frac{\pi}{18} \sin \frac{\pi}{18}) + i(\cos \frac{\pi}{18} \sin \frac{4\pi}{9} + \cos \frac{4\pi}{9} \sin \frac{\pi}{18})$

$= \frac{1}{2}(\sin \frac{8\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9}) + \frac{i}{2} (\sin (\frac{4\pi}{9} + \frac{\pi}{18}) + \sin(\frac{4\pi}{9} + \frac{\pi}{18}))$

$= \frac{1}{2} (\sin (\pi - \frac{\pi}{9}) - \sin \frac{\pi}{9}) + \frac{i}{2} 2 \sin(\frac{9\pi}{18}) \cos(\frac{7\pi}{18}) = \frac{1}{2}(\sin \frac{\pi}{9} - \sin \frac{\pi}{9}) + i \sin (\frac{\pi}{2}) \cos (\frac{7\pi}{18}) = i \cos (\frac{7\pi}{18}) = i \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{18}) = i \sin(\frac{2\pi}{18}) = i \sin(\frac{\pi}{9})$

絶対値は $|\sin(\frac{\pi}{9})| = \sin(\frac{\pi}{9})$となります.

偏角は $\frac{\pi}{2}$です。

極形式は $\sin(\frac{\pi}{9}) (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$ となります.

3. 最終的な答え

(1) $-1 = 1(\cos \pi + i\sin \pi)$

(2) $\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4} = 2(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2})$

(3) $(\cos \frac{4\pi}{9} + i\cos \frac{\pi}{18})(\sin \frac{4\pi}{9} + i\sin \frac{\pi}{18}) = \sin(\frac{\pi}{9}) (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$