第5項が-48、第7項が-192である等比数列の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

第5項が-48、第7項が-192である等比数列の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とおく。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項の番号である。

与えられた条件から、以下の2つの式が成り立つ。

$a_5 = ar^{5-1} = ar^4 = -48$

$a_7 = ar^{7-1} = ar^6 = -192$

2番目の式を1番目の式で割ることで、$a$ を消去し、$r$ を求める。

$\frac{ar^6}{ar^4} = \frac{-192}{-48}$

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

$r = 2$ の場合:

$ar^4 = a(2)^4 = 16a = -48$

$a = -3$

したがって、一般項は $a_n = -3(2)^{n-1}$ となる。

$r = -2$ の場合:

$ar^4 = a(-2)^4 = 16a = -48$

$a = -3$

したがって、一般項は $a_n = -3(-2)^{n-1}$ となる。

3. 最終的な答え

$a_n = -3(2)^{n-1}$ または $a_n = -3(-2)^{n-1}$