問題35は複素数の計算問題です。以下の4つの計算を行います。 (1) $\frac{2-i}{3+i}$ (2) $\frac{4}{1-i}$ (3) $\frac{2-i}{2+i}$ (4) $\frac{1}{2i}$ 問題36は、虚数単位$i$を用いて数を表す問題です。 (1) $\sqrt{-11}$ (2) $-\sqrt{-32}$ (3) $-1$ の平方根

1. 問題の内容

問題35は複素数の計算問題です。以下の4つの計算を行います。

(1) $\frac{2-i}{3+i}$

(2) $\frac{4}{1-i}$

(3) $\frac{2-i}{2+i}$

(4) $\frac{1}{2i}$

問題36は、虚数単位$i$を用いて数を表す問題です。

(1) $\sqrt{-11}$

(2) $-\sqrt{-32}$

(3) $-1$ の平方根

2. 解き方の手順

問題35

(1) $\frac{2-i}{3+i}$ の計算:

分母の共役複素数 $3-i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2-i}{3+i} = \frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{6 - 2i - 3i + i^2}{9 - i^2} = \frac{6 - 5i - 1}{9 - (-1)} = \frac{5 - 5i}{10} = \frac{1 - i}{2}$

(2) $\frac{4}{1-i}$ の計算:

分母の共役複素数 $1+i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{4}{1-i} = \frac{4(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{4(1+i)}{1 - i^2} = \frac{4(1+i)}{1 - (-1)} = \frac{4(1+i)}{2} = 2(1+i) = 2 + 2i$

(3) $\frac{2-i}{2+i}$ の計算:

分母の共役複素数 $2-i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2-i}{2+i} = \frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{4 - 2i - 2i + i^2}{4 - i^2} = \frac{4 - 4i - 1}{4 - (-1)} = \frac{3 - 4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(4) $\frac{1}{2i}$ の計算:

分母と分子に $i$ を掛けます。

$\frac{1}{2i} = \frac{1 \times i}{2i \times i} = \frac{i}{2i^2} = \frac{i}{2(-1)} = -\frac{i}{2}$

問題36

(1) $\sqrt{-11}$ の計算:

$\sqrt{-11} = \sqrt{11} \times \sqrt{-1} = \sqrt{11}i$

(2) $-\sqrt{-32}$ の計算:

$-\sqrt{-32} = -\sqrt{32} \times \sqrt{-1} = -\sqrt{16 \times 2} \times i = -4\sqrt{2}i$

(3) $-1$ の平方根 の計算:

$-1$ の平方根は、$x^2 = -1$ を満たす $x$ です。したがって $x = \pm i$ です。

3. 最終的な答え

問題35

(1) $\frac{1-i}{2}$

(2) $2 + 2i$

(3) $\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(4) $-\frac{i}{2}$

問題36

(1) $\sqrt{11}i$

(2) $-4\sqrt{2}i$

(3) $i$, $-i$