与えられたベクトルを、パラメータ $p, q, r, s, t$ を分離して記述せよ。ただし、先頭はパラメータを含まないベクトルとする。与えられたベクトルは、 $\begin{pmatrix} -1+r \\ 1+r-s \\ 1-2r+s \end{pmatrix}$ である。

1. 問題の内容

与えられたベクトルを、パラメータ $p, q, r, s, t$ を分離して記述せよ。ただし、先頭はパラメータを含まないベクトルとする。与えられたベクトルは、

$\begin{pmatrix} -1+r \\ 1+r-s \\ 1-2r+s \end{pmatrix}$

である。

2. 解き方の手順

与えられたベクトルをパラメータ $r$ と $s$ を分離して分解する。

$\begin{pmatrix} -1+r \\ 1+r-s \\ 1-2r+s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} r \\ r \\ -2r \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -s \\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、

$\begin{pmatrix} -1+r \\ 1+r-s \\ 1-2r+s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

となる。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$