行列 $A$ を行基本変形すると $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ となる。さらに、行列 $A$ の1列目が $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ であり、2列目が $\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$ である。このとき、行列 $A$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A$ を行基本変形すると $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ となる。さらに、行列 $A$ の1列目が $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ であり、2列目が $\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$ である。このとき、行列 $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

行列 $A$ を $\begin{pmatrix} 1 & -1 & x \\ -1 & -1 & y \\ 1 & -1 & z \end{pmatrix}$ とする。

この行列を行基本変形して、$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ になることを利用する。

まず1行目に1列目の要素が1であるから、2行目に1行目の1倍を足す。3行目から1行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & x \\ 0 & -2 & x+y \\ 0 & 0 & z-x \end{pmatrix}$

次に、2行目を-2で割る。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & x \\ 0 & 1 & -(x+y)/2 \\ 0 & 0 & z-x \end{pmatrix}$

1行目に2行目を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & x-(x+y)/2 \\ 0 & 1 & -(x+y)/2 \\ 0 & 0 & z-x \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & (x-y)/2 \\ 0 & 1 & -(x+y)/2 \\ 0 & 0 & z-x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって、

$\begin{aligned}

\frac{x-y}{2} &= 2 \\

-\frac{x+y}{2} &= 2 \\

z-x &= 0

\end{aligned}$

これを解くと、

$x - y = 4$

$x + y = -4$

$z = x$

$2x = 0$

$x = 0$

$y = -4$

$z = 0$

したがって、行列 $A$ は $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & -4 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ となる。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & -4 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$