与えられた係数行列に対応する斉次連立一次方程式の解を、パラメータ表示で求める問題です。与えられた係数行列は行簡約化された形になっています。パラメータは $p, q, r, s, t$ から選びます。

1. 問題の内容

与えられた係数行列に対応する斉次連立一次方程式の解を、パラメータ表示で求める問題です。与えられた係数行列は行簡約化された形になっています。パラメータは $p, q, r, s, t$ から選びます。

2. 解き方の手順

与えられた係数行列は次の通りです。

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 0 & -2 \\

0 & 1 & -3 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$$$

この行列に対応する方程式は次のようになります。

$$$$

\begin{cases}

x_1 + x_3 - 2x_5 = 0 \\

x_2 - 3x_3 + x_5 = 0 \\

x_4 - x_5 = 0

\end{cases}

$$$$

ここで、$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ は変数です。

$x_3 = r$ および $x_5 = s$ とおくと、解は次のようにパラメータ表示できます。

$$$$

\begin{cases}

x_1 = -x_3 + 2x_5 = -r + 2s \\

x_2 = 3x_3 - x_5 = 3r - s \\

x_3 = r \\

x_4 = x_5 = s \\

x_5 = s

\end{cases}

$$$$

したがって、解ベクトルは

$$$$

\begin{pmatrix}

x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-r + 2s \\ 3r - s \\ r \\ s \\ s

\end{pmatrix}

= r \begin{pmatrix}

-1 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0

\end{pmatrix}

+ s \begin{pmatrix}

2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 1

\end{pmatrix}

$$$$

問題文の指示に従い、$p, q, r, s, t$ の順でパラメータを選ぶと、$x_3 = r$ と $x_5 = s$ に対応します。従って、

$$$$

\begin{pmatrix}

x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-r + 2s \\ 3r - s \\ r \\ s \\ s

\end{pmatrix}

$$$$

となります。

3. 最終的な答え

x = (-r+2s, 3r-s, r, s, s)