関数 $y=2x^2$ の定義域が $-2 \le x \le -1$ のとき、この関数の値域と最大値、最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y=2x^2$ の定義域が $-2 \le x \le -1$ のとき、この関数の値域と最大値、最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = 2x^2$ は、$x=0$ を軸とする上に凸の放物線である。定義域が $-2 \le x \le -1$ なので、この範囲で関数の値を考える。

* $x=-2$ のとき、$y = 2(-2)^2 = 2(4) = 8$

* $x=-1$ のとき、$y = 2(-1)^2 = 2(1) = 2$

この関数は $x$ が増加するにつれて $y$ の値が減少していく。したがって、定義域 $-2 \le x \le -1$ において、

$x = -2$ のとき最大値 $y=8$ をとり、

$x = -1$ のとき最小値 $y=2$ をとる。

したがって、値域は $2 \le y \le 8$ となる。

3. 最終的な答え

* 最大値：8 （$x=-2$ のとき）

* 最小値：2 （$x=-1$ のとき）

* 値域： $2 \le y \le 8$