与えられた対数計算の問題は次の通りです。 $4\log_5 3 - 2\log_5 15 - \log_5 45$

1. 問題の内容

与えられた対数計算の問題は次の通りです。

$4\log_5 3 - 2\log_5 15 - \log_5 45$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を整理します。

$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$

$\log_a (x/y) = \log_a x - \log_a y$

$n \log_a x = \log_a (x^n)$

これらの性質を使って、与えられた式を変形します。

$4\log_5 3 = \log_5 3^4 = \log_5 81$

$2\log_5 15 = \log_5 15^2 = \log_5 225$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\log_5 81 - \log_5 225 - \log_5 45$

さらに、対数の性質を利用して式をまとめます。

$\log_5 81 - \log_5 225 - \log_5 45 = \log_5 \frac{81}{225} - \log_5 45$

$= \log_5 \frac{81}{225 \times 45} = \log_5 \frac{81}{10125}$

ここで、分数を約分します。$81 = 3^4$ であり、$10125 = 3^4 \times 5^4$ です。

$\frac{81}{10125} = \frac{3^4}{3^4 \times 5^4} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625}$

したがって、

$\log_5 \frac{1}{625} = \log_5 5^{-4} = -4 \log_5 5 = -4 \times 1 = -4$

3. 最終的な答え

最終的な答えは-4です。