第3項が1で、初項から第3項までの和が7である等比数列$\{a_n\}$の初項から第n項までの和$S_n$を求める問題です。ただし、公比は正の実数とします。

1. 問題の内容

第3項が1で、初項から第3項までの和が7である等比数列$\{a_n\}$の初項から第n項までの和$S_n$を求める問題です。ただし、公比は正の実数とします。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を$a$、公比を$r$とします。

* 第3項が1であることから、

$ar^2 = 1$ ...(1)

* 初項から第3項までの和が7であることから、

$a + ar + ar^2 = 7$ ...(2)

(1)より、$a = \frac{1}{r^2}$であるから、これを(2)に代入すると、

$\frac{1}{r^2} + \frac{1}{r} + 1 = 7$

両辺に$r^2$をかけると、

$1 + r + r^2 = 7r^2$

$6r^2 - r - 1 = 0$

$(2r - 1)(3r + 1) = 0$

$r = \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}$

ただし、公比は正の実数であるから、$r = \frac{1}{2}$

$r = \frac{1}{2}$を(1)に代入すると、$a(\frac{1}{2})^2 = 1$より、$a = 4$

したがって、初項4、公比$\frac{1}{2}$の等比数列の初項から第n項までの和$S_n$は、

$S_n = \frac{4(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4(1 - (\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}} = 8(1 - (\frac{1}{2})^n) = 8(1 - \frac{1}{2^n}) = 8 - \frac{8}{2^n} = 8 - \frac{2^3}{2^n} = 8 - 2^{3-n}$

3. 最終的な答え

$S_n = 8 - 2^{3-n}$