初項が243、公比が $-\frac{1}{3}$、末項が3である等比数列$\{a_n\}$の和を求めよ。

1. 問題の内容

初項が243、公比が $-\frac{1}{3}$、末項が3である等比数列$\{a_n\}$の和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の一般項を求めます。一般項 $a_n$ は、初項 $a_1$、公比 $r$ を用いて $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ と表されます。

この数列の一般項は $a_n = 243 \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1}$ です。

末項が3なので、 $243 \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1} = 3$ となる $n$ を求めます。

$243 = 3^5$ なので、$3^5 \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1} = 3$ となります。

$(-\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{3}{3^5} = \frac{1}{3^4} = (-\frac{1}{3})^4$

よって、$n-1 = 4$ より $n = 5$ となります。

したがって、この等比数列は5項からなることがわかります。

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ です。

$a_1 = 243$, $r = -\frac{1}{3}$, $n = 5$ を代入すると、

$S_5 = \frac{243(1-(-\frac{1}{3})^5)}{1-(-\frac{1}{3})} = \frac{243(1+\frac{1}{243})}{\frac{4}{3}} = \frac{243(\frac{244}{243})}{\frac{4}{3}} = \frac{244}{\frac{4}{3}} = 244 \cdot \frac{3}{4} = 61 \cdot 3 = 183$

3. 最終的な答え

183