第2項が2、初項から第3項までの和が7である公比が1より大きい等比数列$\{a_n\}$の初項から第n項までの和$S_n$を求める。

1. 問題の内容

第2項が2、初項から第3項までの和が7である公比が1より大きい等比数列$\{a_n\}$の初項から第n項までの和$S_n$を求める。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を$a$、公比を$r$とする。

第2項が2であることから、

$ar = 2$　(1)

初項から第3項までの和が7であることから、

$a + ar + ar^2 = 7$　(2)

(1)より、$a = \frac{2}{r}$であるので、これを(2)に代入すると

$\frac{2}{r} + 2 + 2r = 7$

$2 + 2r + 2r^2 = 7r$

$2r^2 - 5r + 2 = 0$

$(2r - 1)(r - 2) = 0$

$r = \frac{1}{2}, 2$

公比が1より大きいので、$r = 2$。

(1)より、$a = \frac{2}{2} = 1$。

よって、初項$a = 1$、公比$r = 2$。

したがって、初項から第n項までの和$S_n$は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$

3. 最終的な答え

$S_n = 2^n - 1$