初項が3、公比が-2、末項が192である等比数列 $\{a_n\}$ の和を求めよ。

1. 問題の内容

初項が3、公比が-2、末項が192である等比数列 $\{a_n\}$ の和を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式は、初項を $a$、公比を $r$、項数を $n$ とすると、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

または

$S_n = \frac{a-lr}{1-r}$

ここで、$l$は末項である。今回は$a$, $r$, $l$が与えられているので、後者の公式を用いる。

まず、末項192が第何項であるかを求める。

$a_n = ar^{n-1}$ より、

$192 = 3 \cdot (-2)^{n-1}$

$\frac{192}{3} = (-2)^{n-1}$

$64 = (-2)^{n-1}$

$(-2)^6 = 64$より、

$n-1 = 6$

$n=7$

次に、等比数列の和の公式を用いて、和を求める。

$S_n = \frac{a-lr}{1-r}$

$S_7 = \frac{3 - 192 \cdot (-2)}{1 - (-2)}$

$S_7 = \frac{3 + 384}{3}$

$S_7 = \frac{387}{3}$

$S_7 = 129$

3. 最終的な答え

129