3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が $1+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位である。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が $1+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位である。

2. 解き方の手順

(1) $1+2i$ が解であることから、共役複素数である $1-2i$ も解となる。

(2) 解と係数の関係を利用する。3つの解を $1+2i$, $1-2i$, $\alpha$ とすると、

3つの解の和は $-a$ に等しい。

2つずつの解の積の和は $b$ に等しい。

3つの解の積は $-10$ に等しい。

(3) 3つの解の積から $\alpha$ を求める。

(4) 解の和と2つずつの解の積の和から $a$ と $b$ を求める。

具体的に計算する。

3つの解の積は $(1+2i)(1-2i)\alpha = (1-4i^2)\alpha = (1+4)\alpha = 5\alpha$

したがって、

$5\alpha = -10$

$\alpha = -2$

3つの解は $1+2i, 1-2i, -2$ である。

3つの解の和は $(1+2i) + (1-2i) + (-2) = 1+1-2 = 0$

したがって、 $-a = 0$ より $a = 0$

2つずつの解の積の和は

$(1+2i)(1-2i) + (1+2i)(-2) + (1-2i)(-2) = (1+4) + (-2-4i) + (-2+4i) = 5 -2-4i -2+4i = 1$

したがって、$b = 1$

3. 最終的な答え

$a = 0$

$b = 1$

$x = -2$