数列$\{a_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = -(-4)^{n+1} - 4$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = -(-4)^{n+1} - 4$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立つ。

$S_n = -(-4)^{n+1} - 4$ であり、$S_{n-1} = -(-4)^{(n-1)+1} - 4 = -(-4)^n - 4$ であるから、

$a_n = (-(-4)^{n+1} - 4) - (-(-4)^n - 4)$

$a_n = -(-4)^{n+1} + (-4)^n$

$a_n = (-4)^n - (-4)^{n+1}$

$a_n = (-4)^n(1 - (-4))$

$a_n = 5(-4)^n$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = -(-4)^{1+1} - 4 = -(-4)^2 - 4 = -16 - 4 = -20$ である。

ここで、$a_n = 5(-4)^n$ に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = 5(-4)^1 = -20$ となり、$n = 1$ のときも成り立つ。

したがって、一般項は $a_n = 5(-4)^n$ である。

3. 最終的な答え

$a_n = 5(-4)^n$