数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。与えられた数列は 4, 2, 4, 2, 4, 2, ... となっています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。与えられた数列は 4, 2, 4, 2, 4, 2, ... となっています。

2. 解き方の手順

この数列は、4と2が交互に現れる数列です。したがって、奇数番目の項は4、偶数番目の項は2となります。

$n$が奇数のとき、$a_n = 4$

$n$が偶数のとき、$a_n = 2$

これを一つの式で表すために、三角関数を利用します。

$\cos(n\pi)$は$n$が偶数のとき1、奇数のとき-1となることを利用します。

$a_n = A + B\cos(n\pi)$の形で表すことを考えます。

$n=1$のとき、$a_1 = 4$なので、

$4 = A + B\cos(\pi) = A - B$

$n=2$のとき、$a_2 = 2$なので、

$2 = A + B\cos(2\pi) = A + B$

2つの式を足し合わせると、$6 = 2A$より、$A = 3$

$A = 3$を$A + B = 2$に代入すると、$3 + B = 2$より、$B = -1$

したがって、$a_n = 3 - \cos(n\pi)$

3. 最終的な答え

$a_n = 3 - \cos(n\pi)$