与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ について、最初のいくつかの項 $a_1, a_2, a_3, a_4$ を計算し、一般項 $a_n$ を求める問題です。今回は、画像に番号が振られている問題のうち、４番の問題を解きます。 漸化式は $a_1 = 2$、$a_{n+1} = a_n + 3^n$ で与えられます。

はい、承知いたしました。画像にある数列の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ について、最初のいくつかの項 $a_1, a_2, a_3, a_4$ を計算し、一般項 $a_n$ を求める問題です。今回は、画像に番号が振られている問題のうち、４番の問題を解きます。

漸化式は $a_1 = 2$、$a_{n+1} = a_n + 3^n$ で与えられます。

2. 解き方の手順

まず、最初のいくつかの項を計算します。

* $a_1 = 2$ (与えられている)

* $a_2 = a_1 + 3^1 = 2 + 3 = 5$

* $a_3 = a_2 + 3^2 = 5 + 9 = 14$

* $a_4 = a_3 + 3^3 = 14 + 27 = 41$

次に、一般項 $a_n$ を求めるために、漸化式を変形して和の形に書き換えます。

$a_{n+1} - a_n = 3^n$

この式から、$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k$$

等比数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n-1} r^k = \frac{r(r^{n-1} - 1)}{r-1}$ を用いると、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 3^k = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} = \frac{3^n - 3}{2}$$

したがって、

$$a_n = 2 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{4 + 3^n - 3}{2} = \frac{3^n + 1}{2}$$

$n=1$のとき$a_1=\frac{3^1+1}{2}=2$なので、この式は$n=1$でも成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_1 = 2, a_2 = 5, a_3 = 14, a_4 = 41$

$a_n = \frac{3^n + 1}{2}$