実数 $x, y$ が不等式 $x^2 + y^2 \leq 1$ を満たしながら変化するとき、点 $(xy, x+y)$ の存在する範囲の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が不等式 $x^2 + y^2 \leq 1$ を満たしながら変化するとき、点 $(xy, x+y)$ の存在する範囲の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$u = x+y$, $v = xy$ とおきます。

$x$ と $y$ は $t$ の 2 次方程式 $t^2 - ut + v = 0$ の実数解なので、判別式 $D = u^2 - 4v \geq 0$ でなければなりません。よって、$v \leq \frac{u^2}{4}$ が成り立ちます。

$x^2 + y^2 \leq 1$ より、$(x+y)^2 - 2xy \leq 1$ となるので、$u^2 - 2v \leq 1$ 、すなわち、$v \geq \frac{u^2-1}{2}$ が成り立ちます。

したがって、$\frac{u^2-1}{2} \leq v \leq \frac{u^2}{4}$ を満たす $u$ と $v$ の範囲を求める必要があります。

$x^2 + y^2 \leq 1$ より、$-1 \leq x \leq 1$ , $-1 \leq y \leq 1$ が成り立ちます。

$x+y$ の最大値と最小値を考えるために、$x = \cos \theta, y = \sin \theta$ と置くと、$x+y = \cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ となります。

したがって、$-\sqrt{2} \leq x+y \leq \sqrt{2}$ となり、$-\sqrt{2} \leq u \leq \sqrt{2}$ です。

求める面積は、

$S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (\frac{u^2}{4} - \frac{u^2-1}{2}) du$

$S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-\frac{u^2}{4} + \frac{1}{2}) du$

$S = 2 \int_{0}^{\sqrt{2}} (-\frac{u^2}{4} + \frac{1}{2}) du$

$S = 2 [-\frac{u^3}{12} + \frac{1}{2}u]_0^{\sqrt{2}}$

$S = 2 [-\frac{2\sqrt{2}}{12} + \frac{\sqrt{2}}{2}] = 2 [-\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{3\sqrt{2}}{6}] = 2 \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{2}}{3}$