2次関数 $f(x)$ が与えられた等式を満たすとき、$f(x)$ を求める問題です。ここでは、(1) の問題を解きます。 $f(x) + xf'(x) = 6x^2 - 9x + 1$

1. 問題の内容

2次関数 $f(x)$ が与えられた等式を満たすとき、$f(x)$ を求める問題です。ここでは、(1) の問題を解きます。

$f(x) + xf'(x) = 6x^2 - 9x + 1$

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ が2次関数であることから、$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおきます。

次に、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 2ax + b$

これを元の式に代入します。

$ax^2 + bx + c + x(2ax + b) = 6x^2 - 9x + 1$

整理すると、

$ax^2 + bx + c + 2ax^2 + bx = 6x^2 - 9x + 1$

$3ax^2 + 2bx + c = 6x^2 - 9x + 1$

この式が全ての $x$ について成り立つためには、各項の係数が等しくなければなりません。したがって、次の連立方程式が得られます。

$3a = 6$

$2b = -9$

$c = 1$

これらの式を解きます。

$a = \frac{6}{3} = 2$

$b = \frac{-9}{2}$

$c = 1$

したがって、$f(x) = 2x^2 - \frac{9}{2}x + 1$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = 2x^2 - \frac{9}{2}x + 1$