$a<0$ のとき、1次関数 $y=ax+b$ （$-2 \leq x \leq 4$）の最大値が7、最小値が-5である。定数$a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a<0$ のとき、1次関数 $y=ax+b$ （$-2 \leq x \leq 4$）の最大値が7、最小値が-5である。定数$a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$a<0$なので、$y=ax+b$ は減少関数である。つまり、$x$ が最小のとき $y$ は最大、$x$ が最大のとき $y$ は最小となる。

したがって、

$x=-2$ のとき $y=7$、

$x=4$ のとき $y=-5$

となる。これらをそれぞれ代入すると、

$7 = -2a + b$

$-5 = 4a + b$

この2つの式からなる連立方程式を解く。

2つの式を引き算すると、

$7 - (-5) = (-2a + b) - (4a + b)$

$12 = -6a$

$a = -2$

$a=-2$ を $7 = -2a + b$ に代入すると、

$7 = -2(-2) + b$

$7 = 4 + b$

$b = 3$

3. 最終的な答え

$a = -2$, $b = 3$