(1) ベクトル $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、 (a) $\vec{u}$ と同じ向きに距離 5 だけ進む変位ベクトル $\vec{v}$ を求める。 (b) $\vec{u}$ と逆の向きに距離 7 だけ進む変位ベクトル $\vec{w}$ を求める。 (2) 次の各ベクトル $\vec{b}$ を $\vec{a}$ 方向に正射影したベクトルを求める。 (a) $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ を $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 方向に正射影したベクトル $\vec{p}$。 (b) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ 方向に正射影したベクトル $\vec{q}$。 (c) $\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ を $\vec{d} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ 方向に正射影したベクトル $\vec{r}$。 (d) $\vec{l} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ を $\vec{m} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ 方向に正射影したベクトル $\vec{n}$。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、

(a) $\vec{u}$ と同じ向きに距離 5 だけ進む変位ベクトル $\vec{v}$ を求める。

(b) $\vec{u}$ と逆の向きに距離 7 だけ進む変位ベクトル $\vec{w}$ を求める。

(2) 次の各ベクトル $\vec{b}$ を $\vec{a}$ 方向に正射影したベクトルを求める。

(a) $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ を $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 方向に正射影したベクトル $\vec{p}$。

(b) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ 方向に正射影したベクトル $\vec{q}$。

(c) $\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ を $\vec{d} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ 方向に正射影したベクトル $\vec{r}$。

(d) $\vec{l} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ を $\vec{m} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ 方向に正射影したベクトル $\vec{n}$。

2. 解き方の手順

(1)

(a) ベクトル $\vec{u}$ の大きさは $||\vec{u}|| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ である。$\vec{u}$ と同じ向きの単位ベクトルは $\frac{\vec{u}}{||\vec{u}||} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} \end{pmatrix}$ となる。距離 5 だけ進む変位ベクトル $\vec{v}$ は、この単位ベクトルを 5 倍することで得られる。

$$\vec{v} = 5 \cdot \frac{\vec{u}}{||\vec{u}||} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10/\sqrt{5} \\ 5/\sqrt{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{5} \\ \sqrt{5} \end{pmatrix}$$

(b) $\vec{u}$ と逆向きの単位ベクトルは $-\frac{\vec{u}}{||\vec{u}||} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/\sqrt{5} \\ -1/\sqrt{5} \end{pmatrix}$ となる。距離 7 だけ進む変位ベクトル $\vec{w}$ は、この単位ベクトルを 7 倍することで得られる。

$$\vec{w} = 7 \cdot \left(-\frac{\vec{u}}{||\vec{u}||}\right) = 7 \cdot \begin{pmatrix} -2/\sqrt{5} \\ -1/\sqrt{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14/\sqrt{5} \\ -7/\sqrt{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14\sqrt{5}/5 \\ -7\sqrt{5}/5 \end{pmatrix}$$

(2) ベクトル $\vec{b}$ を $\vec{a}$ 方向に正射影したベクトル $\vec{p}$ は、

$$\vec{p} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}||^2} \vec{a}$$

で与えられる。

(a) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ の場合、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 3$, $||\vec{a}||^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ より、

$$\vec{p} = \frac{3}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 \\ 3/2 \end{pmatrix}$$

(b) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ の場合、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 3$, $||\vec{b}||^2 = 1^2 + 2^2 = 5$ より、

$$\vec{q} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{||\vec{b}||^2} \vec{b} = \frac{3}{5} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/5 \\ 6/5 \end{pmatrix}$$

(c) $\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{d} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ の場合、

$\vec{c} \cdot \vec{d} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = -2$, $||\vec{d}||^2 = 1^2 + 3^2 = 10$ より、

$$\vec{r} = \frac{-2}{10} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = -\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/5 \\ -3/5 \end{pmatrix}$$

(d) $\vec{l} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\vec{m} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ の場合、

$\vec{l} \cdot \vec{m} = -3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = -9 + 8 = -1$, $||\vec{m}||^2 = 3^2 + 2^2 = 13$ より、

$$\vec{n} = \frac{-1}{13} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3/13 \\ -2/13 \end{pmatrix}$$

3. 最終的な答え

(1)

(a) $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{5} \\ \sqrt{5} \end{pmatrix}$

(b) $\vec{w} = \begin{pmatrix} -14\sqrt{5}/5 \\ -7\sqrt{5}/5 \end{pmatrix}$

(2)

(a) $\vec{p} = \begin{pmatrix} 3/2 \\ 3/2 \end{pmatrix}$

(b) $\vec{q} = \begin{pmatrix} 3/5 \\ 6/5 \end{pmatrix}$

(c) $\vec{r} = \begin{pmatrix} -1/5 \\ -3/5 \end{pmatrix}$

(d) $\vec{n} = \begin{pmatrix} -3/13 \\ -2/13 \end{pmatrix}$