数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。与えられた漸化式は次の通りです。 (1) $a_1 = 3, \quad na_{n+1} = (n+1)a_n + n(n+1)$ (2) $a_1 = 2, \quad na_{n+1} = (n+1)a_n + 1$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。与えられた漸化式は次の通りです。

(1) $a_1 = 3, \quad na_{n+1} = (n+1)a_n + n(n+1)$

(2) $a_1 = 2, \quad na_{n+1} = (n+1)a_n + 1$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた漸化式 $na_{n+1} = (n+1)a_n + n(n+1)$ の両辺を $n(n+1)$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + 1$

ここで $b_n = \frac{a_n}{n}$ とおくと、

$b_{n+1} = b_n + 1$

これは、数列 $\{b_n\}$ が公差 1 の等差数列であることを示しています。

$b_1 = \frac{a_1}{1} = \frac{3}{1} = 3$ なので、

$b_n = b_1 + (n-1) \cdot 1 = 3 + n - 1 = n + 2$

したがって、

$a_n = n b_n = n(n+2) = n^2 + 2n$

(2)

与えられた漸化式 $na_{n+1} = (n+1)a_n + 1$ の両辺を $n(n+1)$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + \frac{1}{n(n+1)}$

ここで $b_n = \frac{a_n}{n}$ とおくと、

$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{n(n+1)} = b_n + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$b_1 = \frac{a_1}{1} = \frac{2}{1} = 2$ なので、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 2 + \left(1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) = 2 + 1 - \frac{1}{n} = 3 - \frac{1}{n} = \frac{3n-1}{n}$

したがって、

$a_n = n b_n = n \cdot \frac{3n-1}{n} = 3n - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 + 2n$

(2) $a_n = 3n - 1$