初項から第$n$項までの和 $S_n$ が $5^{n+1}-1$ で与えられる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

初項から第$n$項までの和 $S_n$ が $5^{n+1}-1$ で与えられる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a_1$を求める。$S_1 = a_1$であるから、

$a_1 = S_1 = 5^{1+1}-1 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$

次に、$n \geq 2$ のとき、$a_n$ を求める。

$a_n = S_n - S_{n-1}$ であるから、

$a_n = (5^{n+1}-1) - (5^{(n-1)+1}-1) = 5^{n+1} - 1 - (5^n - 1) = 5^{n+1} - 5^n$

$a_n = 5^n \cdot 5 - 5^n = 5^n(5-1) = 4 \cdot 5^n$

$n=1$ のとき、 $a_1 = 4 \cdot 5^1 = 20$ となるが、これは最初に求めた $a_1=24$ と異なる。したがって、場合分けが必要となる。

$n=1$のとき、$a_1 = 24$

$n \geq 2$のとき、$a_n = 4 \cdot 5^n$

3. 最終的な答え

$a_1 = 24$

$a_n = 4 \cdot 5^n$ (for $n \geq 2$)

または

$a_n = \begin{cases} 24 & (n=1) \\ 4 \cdot 5^n & (n \geq 2) \end{cases}$