初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $3^n + 1$ で与えられる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $3^n + 1$ で与えられる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$S_n = 3^n + 1$ が与えられています。

まず、初項 $a_1$ を求めます。$a_1 = S_1$ なので、

$a_1 = S_1 = 3^1 + 1 = 3 + 1 = 4$

次に、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ を $S_n$ と $S_{n-1}$ を用いて表します。

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$S_n = 3^n + 1$

$S_{n-1} = 3^{n-1} + 1$

したがって、

$a_n = (3^n + 1) - (3^{n-1} + 1) = 3^n - 3^{n-1} = 3^{n-1}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{n-1}$

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ が $n=1$ でも成り立つか確認します。

$n=1$ のとき、$a_1 = 2 \cdot 3^{1-1} = 2 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2$

しかし、最初に計算したように $a_1 = 4$ なので、$n=1$ のときだけ異なる式になります。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_1 = 4$

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} \quad (n \ge 2)$

3. 最終的な答え

$a_1 = 4$

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} \quad (n \ge 2)$