3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 4 = 0$ が $x = -2$ を2重解に持つとき、実数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 4 = 0$ が $x = -2$ を2重解に持つとき、実数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x = -2$ が2重解なので、与えられた3次方程式は $(x+2)^2$ で割り切れるはずです。

つまり、$x^3 + ax^2 + bx + 4 = (x+2)^2 (x+c)$ の形になるはずです。ここで、$c$ は定数です。

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ なので、

$x^3 + ax^2 + bx + 4 = (x^2 + 4x + 4)(x+c) = x^3 + cx^2 + 4x^2 + 4cx + 4x + 4c = x^3 + (c+4)x^2 + (4c+4)x + 4c$

となります。

係数を比較すると、

$a = c+4$

$b = 4c+4$

$4 = 4c$

となります。

最後の式から、$4c = 4$ なので、$c = 1$ となります。

したがって、

$a = c+4 = 1+4 = 5$

$b = 4c+4 = 4(1)+4 = 8$

となります。

3. 最終的な答え

$a = 5$, $b = 8$