初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $2^n - 1$ で与えられる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $2^n - 1$ で与えられる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

数列の和 $S_n$ と一般項 $a_n$ の関係を利用します。

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立ちます。

また、$a_1 = S_1$ です。

まず、$n \ge 2$ のときを考えます。

$S_n = 2^n - 1$ および $S_{n-1} = 2^{n-1} - 1$ なので、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2^n - 1) - (2^{n-1} - 1) = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}(2 - 1) = 2^{n-1}$

となります。

次に、$n = 1$ のときを考えます。

$a_1 = S_1 = 2^1 - 1 = 1$

ここで、$a_n = 2^{n-1}$ に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 2^{1-1} = 2^0 = 1$ となり、$a_1 = S_1$ と一致します。

したがって、$n \ge 1$ に対して、$a_n = 2^{n-1}$ で表されます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n-1}$