3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 12 = 0$ (*) が $-1 + \sqrt{3}i$ を解に持つとき、共役複素数 $-1 - \sqrt{3}i$ も解となることを利用して、$a$, $b$ の値を求め、(*) のすべての解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 12 = 0$ (*) が $-1 + \sqrt{3}i$ を解に持つとき、共役複素数 $-1 - \sqrt{3}i$ も解となることを利用して、$a$, $b$ の値を求め、(*) のすべての解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha = -1 + \sqrt{3}i$ とおくと、(*) は実数係数なので、$\bar{\alpha} = -1 - \sqrt{3}i$ も解となります。

(2) $g(x) = (x - \alpha)(x - \bar{\alpha})$ を計算します。

$g(x) = (x - (-1 + \sqrt{3}i))(x - (-1 - \sqrt{3}i))$

$g(x) = (x + 1 - \sqrt{3}i)(x + 1 + \sqrt{3}i)$

$g(x) = (x + 1)^2 - (\sqrt{3}i)^2$

$g(x) = x^2 + 2x + 1 - (-3)$

$g(x) = x^2 + 2x + 4$

よって、イ=2, ウ=4 となります。

(3) $x^3 + ax^2 + bx + 12$ を $g(x) = x^2 + 2x + 4$ で割ります。商を $x + c$ とすると、

$x^3 + ax^2 + bx + 12 = (x^2 + 2x + 4)(x + c) = x^3 + cx^2 + 2x^2 + 2cx + 4x + 4c = x^3 + (c + 2)x^2 + (2c + 4)x + 4c$

係数を比較して、

$a = c + 2$, $b = 2c + 4$, $12 = 4c$

$c = 3$ なので、

$a = 3 + 2 = 5$

$b = 2(3) + 4 = 10$

よって、エ=3 となります。また、オ=0, カ=

0. さらに、キ=5, ク=10 となります。

(4) $x^3 + 5x^2 + 10x + 12 = 0$ の解は、$x = -1 + \sqrt{3}i$, $x = -1 - \sqrt{3}i$, $x = -3$ となります。

したがって、ケ=-3 となります。

3. 最終的な答え

ア：$-1 - \sqrt{3}i$

イ：$2$

ウ：$4$

エ：$3$

オ：$0$

カ：$0$

キ：$5$

ク：$10$

ケ：$-3$