数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $n^2 + 2n + 1$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $n^2 + 2n + 1$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$S_n = n^2 + 2n + 1$ である。

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立つ。

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1$ である。

まず、$n \geq 2$ のときを考える。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n + 1) - ((n-1)^2 + 2(n-1) + 1)$

$= (n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2 + 1)$

$= (n^2 + 2n + 1) - (n^2 + 0n + 0)$

$= 2n + 1$

次に、$n = 1$ のときを考える。

$a_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$

$n \geq 2$ のときの $a_n = 2n + 1$ に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = 2(1) + 1 = 3$ となる。これは $a_1 = 4$ と一致しないため、場合分けが必要である。

しかし、問題文をよく見ると、$S_n = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$ である。このことに気づくと、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n+1)^2 - (n-1+1)^2 = (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$

これより、$a_1 = S_1 = (1+1)^2 = 2^2 = 4$ となり、これは $a_n = 2n+1$ に $n=1$ を代入すると $a_1 = 2(1)+1 = 3$ と一致しない。

再度確認すると

$S_n = n^2+2n+1 = (n+1)^2$

$a_1 = S_1 = 1^2+2(1)+1 = 4$

$n \ge 2$ のとき $a_n = S_n-S_{n-1} = (n+1)^2-n^2 = n^2+2n+1-n^2 = 2n+1$

$a_n = 2n+1$に $n=1$ を代入すると $a_1 = 3$ となり、矛盾する。

問題文にある通り、$S_n = n^2 + 2n + 1$ なので、$S_1 = a_1 = 1 + 2 + 1 = 4$。

また、$S_2 = a_1 + a_2 = 4 + a_2 = 2^2 + 2(2) + 1 = 9$ なので、$a_2 = 5$。

$S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 4 + 5 + a_3 = 3^2 + 2(3) + 1 = 16$ なので、$a_3 = 7$。

よって、$a_n = 2n + 1$ であろうと予想できる。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n + 1) - ((n-1)^2 + 2(n-1) + 1) = (n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2 + 1) = n^2 + 2n + 1 - n^2 - 1 + 2 - 1 = 2n+1-0 = 2n$. これは間違い.

計算ミスがあった。

$a_n = (n^2 + 2n + 1) - ((n-1)^2 + 2(n-1) + 1) = n^2 + 2n + 1 - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2 + 1) = n^2 + 2n + 1 - n^2 +2n-1-2n+2-1 =2n+2n-2n+1-1+2-1 = 2n+1-0 \rightarrow 2n+1$

従って $a_1 = 4, \quad a_n = 2n + 1 \quad (n \ge 2)$

3. 最終的な答え

$a_1 = 4$

$a_n = 2n+1$ ($n \ge 2$)

または

$a_n = \begin{cases} 4 & (n=1) \\ 2n+1 & (n \ge 2) \end{cases}$