整式 $f(x)$ について、恒等式 $f(x^2) = x^3f(x+1) - 2x^4 + 2x^2$ が成り立つとき、以下の問いに答える。 (1) $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$ の値を求めよ。 (2) $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $f(x)$ について、恒等式 $f(x^2) = x^3f(x+1) - 2x^4 + 2x^2$ が成り立つとき、以下の問いに答える。

(1) $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$ の値を求めよ。

(2) $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$ の値を求める。

まず、$x=0$ を与えられた等式に代入すると、

$f(0^2) = 0^3f(0+1) - 2(0^4) + 2(0^2)$

$f(0) = 0$

次に、$x=1$ を与えられた等式に代入すると、

$f(1^2) = 1^3f(1+1) - 2(1^4) + 2(1^2)$

$f(1) = f(2) - 2 + 2$

$f(1) = f(2)$

次に、$x=-1$ を与えられた等式に代入すると、

$f((-1)^2) = (-1)^3f(-1+1) - 2(-1)^4 + 2(-1)^2$

$f(1) = -f(0) - 2 + 2$

$f(1) = -0 - 2 + 2$

$f(1) = 0$

したがって、$f(2) = f(1) = 0$

(2) $f(x)$ を求める。

$f(x)$ が整式であり、かつ、$f(0) = f(1) = f(2) = 0$ であるから、$f(x) = ax(x-1)(x-2)$ と仮定する。

ここで、与えられた等式に $f(x) = ax(x-1)(x-2)$ を代入すると、

$ax^2(x^2-1)(x^2-2) = x^3 a(x+1)x(x-1) - 2x^4 + 2x^2$

$ax^2(x^4-3x^2+2) = ax^4(x^2-1) + 2x^2(-x^2+1)$

$ax^6 - 3ax^4 + 2ax^2 = ax^6 - ax^4 - 2x^4 + 2x^2$

$ax^6 - 3ax^4 + 2ax^2 = ax^6 - (a+2)x^4 + 2x^2$

係数を比較すると、$2a = 2$ より $a=1$。また、$-3a = -(a+2)$ より、$-3 = -(1+2)$ であり、これは成立する。

したがって、$f(x) = x(x-1)(x-2) = x(x^2-3x+2) = x^3 - 3x^2 + 2x$

3. 最終的な答え

(1) $f(0) = 0$, $f(1) = 0$, $f(2) = 0$

(2) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$