数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $n^3$ で与えられるとき、この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $n^3$ で与えられるとき、この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$S_n$ が与えられているので、$a_n$ を求めるには、以下の手順で行います。

まず、$n=1$ のとき、$a_1 = S_1$ であることに注意します。$S_n = n^3$ なので、$S_1 = 1^3 = 1$。したがって、$a_1 = 1$ です。

次に、$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を利用します。

$S_n = n^3$ なので、$S_{n-1} = (n-1)^3$。

したがって、

$$a_n = S_n - S_{n-1} = n^3 - (n-1)^3$$

$$a_n = n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) = 3n^2 - 3n + 1$$

ここで、$n=1$ の場合を考えてみます。

$a_1 = 3(1)^2 - 3(1) + 1 = 3 - 3 + 1 = 1$

これは、最初に求めた $a_1 = 1$ と一致します。

したがって、$n \geq 1$ に対して、$a_n = 3n^2 - 3n + 1$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 3n^2 - 3n + 1$