与えられた2次形式の式は以下の通りです。 $x_1^2 + 10\sqrt{3}x_1x_2 + 11x_2^2 = 8$ この式を解け、という問題ではありません。おそらく、この式が表す図形の種類を判断し、必要であれば標準形に変換することを目的としています。

## 問題1

1. 問題の内容

与えられた2次形式の式は以下の通りです。

$x_1^2 + 10\sqrt{3}x_1x_2 + 11x_2^2 = 8$

この式を解け、という問題ではありません。おそらく、この式が表す図形の種類を判断し、必要であれば標準形に変換することを目的としています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次形式を行列で表現します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 5\sqrt{3} \\ 5\sqrt{3} & 11 \end{pmatrix}$

次に、この行列の固有値を求めます。固有方程式は

$|A - \lambda I| = 0$

つまり、

$(1-\lambda)(11-\lambda) - (5\sqrt{3})^2 = 0$

$11 - 12\lambda + \lambda^2 - 75 = 0$

$\lambda^2 - 12\lambda - 64 = 0$

$(\lambda - 16)(\lambda + 4) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 16$ と $\lambda_2 = -4$ です。

次に、固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 16$ のとき、

$(A - 16I)v = 0$

$\begin{pmatrix} -15 & 5\sqrt{3} \\ 5\sqrt{3} & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-15x + 5\sqrt{3}y = 0$

$3x = \sqrt{3}y$

$y = \sqrt{3}x$

固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$

正規化すると、 $u_1 = \begin{pmatrix} 1/2 \\ \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = -4$ のとき、

$(A + 4I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 5 & 5\sqrt{3} \\ 5\sqrt{3} & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$5x + 5\sqrt{3}y = 0$

$x = -\sqrt{3}y$

固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} -\sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}$

正規化すると、 $u_2 = \begin{pmatrix} -\sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{pmatrix}$

回転行列 $P = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}$ によって、座標変換 $x = Py$ を行うと、式は以下のようになります。

$16y_1^2 - 4y_2^2 = 8$

$2y_1^2 - \frac{1}{2}y_2^2 = 1$

これは双曲線を表します。

3. 最終的な答え

この2次形式は双曲線を表し、標準形は

$2y_1^2 - \frac{1}{2}y_2^2 = 1$

## 問題2

1. 問題の内容

与えられた2次形式の式は以下の通りです。

$5x_1^2 - 6x_1x_2 + 5x_2^2 - 8\sqrt{5}(x_1 - x_2) + 16 = 0$

この式が表す図形の種類を判断し、必要であれば標準形に変換することを目的としています。平行移動を考慮する必要がある点が重要です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次形式を行列で表現します。

$5x_1^2 - 6x_1x_2 + 5x_2^2 - 8\sqrt{5}(x_1 - x_2) + 16 = 0$

$A = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$

次に、この行列の固有値を求めます。固有方程式は

$|A - \lambda I| = 0$

つまり、

$(5-\lambda)^2 - (-3)^2 = 0$

$25 - 10\lambda + \lambda^2 - 9 = 0$

$\lambda^2 - 10\lambda + 16 = 0$

$(\lambda - 8)(\lambda - 2) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 8$ と $\lambda_2 = 2$ です。

次に、固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 8$ のとき、

$(A - 8I)v = 0$

$\begin{pmatrix} -3 & -3 \\ -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-3x - 3y = 0$

$x = -y$

固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

正規化すると、 $u_1 = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = 2$ のとき、

$(A - 2I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x - 3y = 0$

$x = y$

固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

正規化すると、 $u_2 = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$

回転行列 $P = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$ によって、座標変換 $x = Py$ を行うと、式は以下のようになります。

$8y_1^2 + 2y_2^2 - 8\sqrt{5}(\frac{1}{\sqrt{2}}y_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}y_2 - (-\frac{1}{\sqrt{2}}y_1) - \frac{1}{\sqrt{2}}y_2) + 16 = 0$

$8y_1^2 + 2y_2^2 - 8\sqrt{5}(\frac{2}{\sqrt{2}}y_1) + 16 = 0$

$8y_1^2 + 2y_2^2 - 8\sqrt{10}y_1 + 16 = 0$

$8(y_1^2 - \sqrt{10}y_1) + 2y_2^2 + 16 = 0$

$8(y_1^2 - \sqrt{10}y_1 + \frac{10}{4}) + 2y_2^2 + 16 - 8(\frac{10}{4}) = 0$

$8(y_1 - \frac{\sqrt{10}}{2})^2 + 2y_2^2 + 16 - 20 = 0$

$8(y_1 - \frac{\sqrt{10}}{2})^2 + 2y_2^2 - 4 = 0$

$8(y_1 - \frac{\sqrt{10}}{2})^2 + 2y_2^2 = 4$

$2(y_1 - \frac{\sqrt{10}}{2})^2 + \frac{1}{2}y_2^2 = 1$

$2(y_1 - \frac{\sqrt{10}}{2})^2 + \frac{y_2^2}{2} = 1$

これは楕円を表します。

3. 最終的な答え

この2次形式は楕円を表し、標準形は

$2(y_1 - \frac{\sqrt{10}}{2})^2 + \frac{y_2^2}{2} = 1$