与えられた式 $2x^2 - 3y^2 + 5xy - 4x - 5y + 2$ を因数分解し、$(x + \boxed{タ} y - \boxed{チ}) ( \boxed{ツ} x - y - \boxed{テ})$ の形に表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 3y^2 + 5xy - 4x - 5y + 2$ を因数分解し、$(x + \boxed{タ} y - \boxed{チ}) ( \boxed{ツ} x - y - \boxed{テ})$ の形に表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ について整理します。

$2x^2 + (5y - 4)x - 3y^2 - 5y + 2$

次に、定数項 $-3y^2 - 5y + 2$ を因数分解します。

$-3y^2 - 5y + 2 = -(3y^2 + 5y - 2) = -(3y - 1)(y + 2) = (1 - 3y)(y + 2)$

元の式を因数分解した形を $(x + ay + b)(cx + dy + e)$ とおくと、与えられた形から $d = -1$ と推測できるため、$cx - y$ の形になることが予想されます。

$2x^2 + (5y - 4)x + (1 - 3y)(y + 2) = (x + ay + b)(cx - y + e)$ とおきます。$x^2$の係数より、$c = 2$ となります。

$(x + ay + b)(2x - y + e) = 2x^2 + (2a - 1)xy - ay^2 + (e + 2b)x + (ae - b)y + be$

係数を比較すると、以下のようになります。

* $2a - 1 = 5 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$

* $-a = -3 \Rightarrow a = 3$ (確認)

* $e + 2b = -4$

* $ae - b = -5 \Rightarrow 3e - b = -5$

* $be = 2$

$e + 2b = -4$ と $3e - b = -5$ から $b$ と $e$ を求めます。

$e + 2b = -4$ より $e = -4 - 2b$ を $3e - b = -5$ に代入すると、

$3(-4 - 2b) - b = -5$

$-12 - 6b - b = -5$

$-7b = 7$

$b = -1$

$e = -4 - 2(-1) = -4 + 2 = -2$

確認: $be = (-1)(-2) = 2$ となり、条件を満たします。

したがって、

$(x + 3y - 1)(2x - y - 2)$ となります。

3. 最終的な答え

タ: 3

チ: 1

ツ: 2

テ: 2