次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求めなさい。 $\frac{3x + 19}{(x-3)(x+4)} = \frac{a}{x-3} + \frac{b}{x+4}$

1. 問題の内容

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求めなさい。

$\frac{3x + 19}{(x-3)(x+4)} = \frac{a}{x-3} + \frac{b}{x+4}$

2. 解き方の手順

まず、右辺を通分します。

$\frac{a}{x-3} + \frac{b}{x+4} = \frac{a(x+4) + b(x-3)}{(x-3)(x+4)} = \frac{ax + 4a + bx - 3b}{(x-3)(x+4)} = \frac{(a+b)x + (4a-3b)}{(x-3)(x+4)}$

この式が与えられた式と恒等式となるためには、分子が等しくなければなりません。したがって、

$3x + 19 = (a+b)x + (4a-3b)$

この式が恒等式であるためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。よって、次の連立方程式が得られます。

$a + b = 3$

$4a - 3b = 19$

一つ目の式から $b = 3 - a$ を得て、これを二つ目の式に代入します。

$4a - 3(3 - a) = 19$

$4a - 9 + 3a = 19$

$7a = 28$

$a = 4$

$a = 4$ を $b = 3 - a$ に代入すると、

$b = 3 - 4 = -1$

3. 最終的な答え

$a = 4$

$b = -1$