$k$を定数とする。直線 $(2k+3)x + (k-4)y - 4k + 5 = 0$ は、$k$ の値に関係なく定点を通る。その定点の座標を求めよ。また、この直線が点 $(-1, 0)$ を通るように、$k$ の値を定めよ。

1. 問題の内容

$k$を定数とする。直線 $(2k+3)x + (k-4)y - 4k + 5 = 0$ は、$k$ の値に関係なく定点を通る。その定点の座標を求めよ。また、この直線が点 $(-1, 0)$ を通るように、$k$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線の方程式を $k$ について整理します。

$(2k+3)x + (k-4)y - 4k + 5 = 0$

$2kx + 3x + ky - 4y - 4k + 5 = 0$

$(2x + y - 4)k + (3x - 4y + 5) = 0$

この式が任意の $k$ について成り立つためには、次の2つの式が同時に成り立つ必要があります。

$2x + y - 4 = 0$

$3x - 4y + 5 = 0$

これらの連立方程式を解くことで、定点の座標を求めることができます。

$2x + y = 4$ ...(1)

$3x - 4y = -5$ ...(2)

(1)式を4倍すると $8x + 4y = 16$ ...(3)

(2)式と(3)式を足し合わせると $11x = 11$ となり、$x = 1$ が得られます。

$x = 1$ を(1)式に代入すると、$2(1) + y = 4$ となり、$y = 2$ が得られます。

したがって、定点の座標は $(1, 2)$ です。

次に、この直線が点 $(-1, 0)$ を通るように $k$ の値を定めます。

直線の方程式に $x = -1$、$y = 0$ を代入します。

$(2k+3)(-1) + (k-4)(0) - 4k + 5 = 0$

$-2k - 3 - 4k + 5 = 0$

$-6k + 2 = 0$

$6k = 2$

$k = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

定点の座標: $(1, 2)$

$k$ の値: $k = \frac{1}{3}$