与えられた拡大係数行列を持つ非斉次連立一次方程式の解の有無を判定し、解が存在する場合は、その解をパラメータ表示で表す。与えられた拡大係数行列は以下の通りである。 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ パラメータは $p, q, r, s, t$ から選択し、解は例えば $2-3p+5/2s$ のように表す。

1. 問題の内容

与えられた拡大係数行列を持つ非斉次連立一次方程式の解の有無を判定し、解が存在する場合は、その解をパラメータ表示で表す。与えられた拡大係数行列は以下の通りである。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3 \\

0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\

0 & 0 & 1 & -1 & 3 & 3 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

パラメータは $p, q, r, s, t$ から選択し、解は例えば $2-3p+5/2s$ のように表す。

2. 解き方の手順

拡大係数行列から方程式を書き出す。

$x_1 + x_4 - x_5 = 3$

$x_2 - x_4 = 4$

$x_3 - x_4 + 3x_5 = 3$

$x_4 = s$, $x_5 = t$ とおくと、

$x_1 = 3 - x_4 + x_5 = 3 - s + t$

$x_2 = 4 + x_4 = 4 + s$

$x_3 = 3 + x_4 - 3x_5 = 3 + s - 3t$

よって、解は

$\begin{pmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3 \\

x_4 \\

x_5

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

3 - s + t \\

4 + s \\

3 + s - 3t \\

s \\

t

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

3 \\

4 \\

3 \\

0 \\

0

\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}

-1 \\

1 \\

1 \\

1 \\

0

\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}

1 \\

0 \\

-3 \\

0 \\

1

\end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

解が存在する。パラメータ表示は以下のようになる。

$x_1 = 3 - s + t$

$x_2 = 4 + s$

$x_3 = 3 + s - 3t$

$x_4 = s$

$x_5 = t$

または $3-s+t,4+s,3+s-3t,s,t$

または ベクトル形式で

$\begin{pmatrix}

3 \\

4 \\

3 \\

0 \\

0

\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}

-1 \\

1 \\

1 \\

1 \\

0

\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}

1 \\

0 \\

-3 \\

0 \\

1

\end{pmatrix}$