不等式 $a^2 + 3ab + 3b^2 \ge 0$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つのはどのようなときかを求める。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 + 3ab + 3b^2 \ge 0$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つのはどのようなときかを求める。

2. 解き方の手順

与えられた不等式の左辺を平方完成する。

$a^2 + 3ab + 3b^2 = a^2 + 3ba + 3b^2 = (a + \frac{3}{2}b)^2 - (\frac{3}{2}b)^2 + 3b^2$

$= (a + \frac{3}{2}b)^2 - \frac{9}{4}b^2 + \frac{12}{4}b^2$

$= (a + \frac{3}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2$

ここで、$(a + \frac{3}{2}b)^2 \ge 0$ であり、$\frac{3}{4}b^2 \ge 0$ であるから、

$(a + \frac{3}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$

したがって、$a^2 + 3ab + 3b^2 \ge 0$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$(a + \frac{3}{2}b)^2 = 0$ かつ $\frac{3}{4}b^2 = 0$ のときである。

$\frac{3}{4}b^2 = 0$ より、$b = 0$。

$(a + \frac{3}{2}b)^2 = (a + \frac{3}{2} \cdot 0)^2 = a^2 = 0$ より、$a = 0$。

したがって、$a = 0$ かつ $b = 0$ のとき、等号が成り立つ。

3. 最終的な答え

不等式 $a^2 + 3ab + 3b^2 \ge 0$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$a = 0$ かつ $b = 0$ のとき。