不等式 $a^2 - a + b^2 - b + \frac{1}{2} \geq 0$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つのはどのようなときかを求める。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 - a + b^2 - b + \frac{1}{2} \geq 0$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つのはどのようなときかを求める。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を平方完成を用いて変形する。

$a^2 - a + b^2 - b + \frac{1}{2} = (a^2 - a) + (b^2 - b) + \frac{1}{2}$

$= (a^2 - a + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + (b^2 - b + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + \frac{1}{2}$

$= (a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

$= (a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$= (a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2$

$(a - \frac{1}{2})^2 \geq 0$ かつ $(b - \frac{1}{2})^2 \geq 0$ であるから、

$(a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 \geq 0$ が成り立つ。

したがって、$a^2 - a + b^2 - b + \frac{1}{2} \geq 0$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$(a - \frac{1}{2})^2 = 0$ かつ $(b - \frac{1}{2})^2 = 0$ のときである。

すなわち、$a - \frac{1}{2} = 0$ かつ $b - \frac{1}{2} = 0$ のときである。

したがって、$a = \frac{1}{2}$ かつ $b = \frac{1}{2}$ のとき、等号が成り立つ。

3. 最終的な答え

不等式 $a^2 - a + b^2 - b + \frac{1}{2} \geq 0$ は成り立つ。

等号が成り立つのは、$a = \frac{1}{2}$ かつ $b = \frac{1}{2}$ のときである。