$f(x) = -x^2 + 4ax - 10a^2 + 4a + 4$ および $g(x) = x^2$ について、以下の問いに答えます。 (1) $a$ が変化するときの $y = f(x)$ の頂点の軌跡の方程式を求めます。 (2) $y = f(x)$ と $y = g(x)$ が異なる2点で交わるときの $a$ の値の範囲を求めます。 (3) (2)のとき、$y = f(x)$ と $y = g(x)$ で囲まれた部分の面積 $S$ の最大値と、そのときの $a$ の値を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

$f(x) = -x^2 + 4ax - 10a^2 + 4a + 4$ および $g(x) = x^2$ について、以下の問いに答えます。

(1) $a$ が変化するときの $y = f(x)$ の頂点の軌跡の方程式を求めます。

(2) $y = f(x)$ と $y = g(x)$ が異なる2点で交わるときの $a$ の値の範囲を求めます。

(3) (2)のとき、$y = f(x)$ と $y = g(x)$ で囲まれた部分の面積 $S$ の最大値と、そのときの $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 4ax) - 10a^2 + 4a + 4 = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - 10a^2 + 4a + 4 = -(x - 2a)^2 - 6a^2 + 4a + 4$

したがって、$y = f(x)$ の頂点は $(2a, -6a^2 + 4a + 4)$ です。

頂点の座標を $(X, Y)$ とおくと、$X = 2a$, $Y = -6a^2 + 4a + 4$ です。

$a = \frac{X}{2}$ を $Y$ に代入すると、

$Y = -6(\frac{X}{2})^2 + 4(\frac{X}{2}) + 4 = -6(\frac{X^2}{4}) + 2X + 4 = -\frac{3}{2}X^2 + 2X + 4$

したがって、頂点の軌跡は $y = -\frac{3}{2}x^2 + 2x + 4$ です。

(2)

$y = f(x)$ と $y = g(x)$ が異なる2点で交わる条件は、

$f(x) = g(x)$ すなわち $-x^2 + 4ax - 10a^2 + 4a + 4 = x^2$ が異なる2つの実数解を持つことです。

$2x^2 - 4ax + 10a^2 - 4a - 4 = 0$

$x^2 - 2ax + 5a^2 - 2a - 2 = 0$

判別式を $D$ とすると、$D > 0$ となる必要があります。

$D/4 = a^2 - (5a^2 - 2a - 2) = -4a^2 + 2a + 2 > 0$

$2a^2 - a - 1 < 0$

$(2a + 1)(a - 1) < 0$

したがって、$-\frac{1}{2} < a < 1$ です。

(3)

交点の $x$ 座標を $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$) とすると、

$S = \int_{\alpha}^{\beta} (f(x) - g(x)) dx = \int_{\alpha}^{\beta} (-2x^2 + 4ax - 10a^2 + 4a + 4) dx = -2 \int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - 2ax + 5a^2 - 2a - 2) dx$

解と係数の関係より $\alpha + \beta = 2a$ と $\alpha \beta = 5a^2 - 2a - 2$ です。

また、$\beta - \alpha = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta} = \sqrt{4a^2 - 4(5a^2 - 2a - 2)} = \sqrt{-16a^2 + 8a + 8} = 2 \sqrt{-4a^2 + 2a + 2}$

よって、

$S = \frac{2}{6} (\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{3} (\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{3} (2 \sqrt{-4a^2 + 2a + 2})^3 = \frac{8}{3} (-4a^2 + 2a + 2)^{3/2}$

$S$ が最大になるのは $-4a^2 + 2a + 2$ が最大になる時です。

$-4a^2 + 2a + 2 = -4(a^2 - \frac{1}{2} a) + 2 = -4(a - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{4} + 2 = -4(a - \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{4}$

$a = \frac{1}{4}$ のとき $-4a^2 + 2a + 2$ は最大値 $\frac{9}{4}$ を取ります。

$a = \frac{1}{4}$ は $-\frac{1}{2} < a < 1$ を満たします。

$S$ の最大値は $\frac{8}{3} (\frac{9}{4})^{3/2} = \frac{8}{3} (\frac{3}{2})^3 = \frac{8}{3} \cdot \frac{27}{8} = 9$

そのときの $a$ の値は $\frac{1}{4}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{3}{2}x^2 + 2x + 4$

(2) $-\frac{1}{2} < a < 1$

(3) $S$ の最大値は $9$ であり、そのときの $a$ の値は $\frac{1}{4}$ です。