数列 $\{a_n\}$ が以下の漸化式と初期条件で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の漸化式と初期条件で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

$a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式の両辺の逆数を取ります。

$a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$ の逆数をとると、

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2a_n + 3}{a_n} = 2 + \frac{3}{a_n}$

ここで、 $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、

$b_{n+1} = 2 + 3b_n$

この漸化式を変形します。特性方程式 $x = 2 + 3x$ を解くと、$-2x=2$ より $x = -1$ です。したがって、

$b_{n+1} + 1 = 3(b_n + 1)$

ここで、$c_n = b_n + 1$ とおくと、

$c_{n+1} = 3c_n$

これは公比が 3 の等比数列なので、$c_n = c_1 \cdot 3^{n-1}$ となります。

$c_1 = b_1 + 1 = \frac{1}{a_1} + 1 = \frac{1}{1} + 1 = 2$ なので、$c_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ です。

$b_n = c_n - 1 = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$

$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1} - 1}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1} - 1}$