Aさんが家から駅まで行く途中に公園があり、午前9時に家を出発した。公園までは一定の速さで走り、公園で休憩した後、一定の速さで駅まで歩いた。グラフは、Aさんが家を出発してから$x$分間に進んだ道のりを$y$mとして、$x$と$y$の関係を表している。 (1) Aさんが歩いた道のりは何mか。 (2) 公園を出発してから駅に着くまでの$x$と$y$の関係を式で表しなさい。 (3) Aさんが家を出発してから25分後に、兄が自転車で家を出発し、同じ道を毎分300mの速さで走ってAさんを追いかけた。兄がAさんに追いつくのは午前9時何分か。

1. 問題の内容

Aさんが家から駅まで行く途中に公園があり、午前9時に家を出発した。公園までは一定の速さで走り、公園で休憩した後、一定の速さで駅まで歩いた。グラフは、Aさんが家を出発してから$x$分間に進んだ道のりを$y$mとして、$x$と$y$の関係を表している。

(1) Aさんが歩いた道のりは何mか。

(2) 公園を出発してから駅に着くまでの$x$と$y$の関係を式で表しなさい。

(3) Aさんが家を出発してから25分後に、兄が自転車で家を出発し、同じ道を毎分300mの速さで走ってAさんを追いかけた。兄がAさんに追いつくのは午前9時何分か。

2. 解き方の手順

(1) Aさんが歩いた道のりは、公園から駅までの距離を表しています。グラフから、公園に到着したのは25分後で、その時の距離は1200m、駅に到着したのは40分後で、その時の距離は2100mです。したがって、Aさんが歩いた道のりは、2100 - 1200 = 900mです。

(2) 公園を出発してから駅に着くまでのグラフは直線なので、一次関数で表すことができます。グラフから、公園を出発した時の点は(25, 1200)、駅に着いた時の点は(40, 2100)です。

傾きは、$\frac{2100 - 1200}{40 - 25} = \frac{900}{15} = 60$です。

したがって、求める一次関数の式は$y = 60x + b$とおけます。

点(25, 1200)を代入すると、$1200 = 60 \times 25 + b$。

$1200 = 1500 + b$より、$b = -300$となります。

したがって、求める式は$y = 60x - 300$です。

(3) Aさんが家を出発してから25分後に、兄が自転車で家を出発し、毎分300mの速さでAさんを追いかける。

Aさんが家を出発してから$x$分後の、兄とAさんの位置をそれぞれ求めます。

Aさんが家を出発してから25分後の位置は1200mです。

それ以降、Aさんは毎分60mで進むので、$x$分後の位置は$1200 + 60(x - 25)$となります。

兄は25分後に出発するので、Aさんが家を出発してから$x$分後の位置は、$300(x - 25)$となります。

2人が出会うのは、それぞれの位置が等しくなる時なので、

$1200 + 60(x - 25) = 300(x - 25)$

$1200 + 60x - 1500 = 300x - 7500$

$-300 + 60x = 300x - 7500$

$7200 = 240x$

$x = 30$

Aさんが家を出発してから30分後に追いつくので、午前9時30分です。

3. 最終的な答え

(1) 900m

(2) $y = 60x - 300$

(3) 午前9時30分