与えられた4元連立一次方程式を掃き出し法で解く問題です。方程式は以下の通りです。 $\begin{cases} x - y + 3z + 4w = -1 \\ 2x + 2y + z + 10w = -2 \\ x - y - 2z + w = -3 \\ -x + 2y - w = 3 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた4元連立一次方程式を掃き出し法で解く問題です。方程式は以下の通りです。

$\begin{cases}

x - y + 3z + 4w = -1 \\

2x + 2y + z + 10w = -2 \\

x - y - 2z + w = -3 \\

-x + 2y - w = 3

\end{cases}$

2. 解き方の手順

掃き出し法(ガウスの消去法)を用いて、この連立方程式を解きます。まず、拡大係数行列を作成します。

$\left[\begin{array}{cccc|c}

1 & -1 & 3 & 4 & -1 \\

2 & 2 & 1 & 10 & -2 \\

1 & -1 & -2 & 1 & -3 \\

-1 & 2 & 0 & -1 & 3

\end{array}\right]$

次に、この行列を簡約化します。

1. 2行目から1行目の2倍を引きます。

$\left[\begin{array}{cccc|c}

1 & -1 & 3 & 4 & -1 \\

0 & 4 & -5 & 2 & 0 \\

1 & -1 & -2 & 1 & -3 \\

-1 & 2 & 0 & -1 & 3

\end{array}\right]$

2. 3行目から1行目を引きます。

$\left[\begin{array}{cccc|c}

1 & -1 & 3 & 4 & -1 \\

0 & 4 & -5 & 2 & 0 \\

0 & 0 & -5 & -3 & -2 \\

-1 & 2 & 0 & -1 & 3

\end{array}\right]$

3. 4行目に1行目を加えます。

$\left[\begin{array}{cccc|c}

1 & -1 & 3 & 4 & -1 \\

0 & 4 & -5 & 2 & 0 \\

0 & 0 & -5 & -3 & -2 \\

0 & 1 & 3 & 3 & 2

\end{array}\right]$

4. 2行目と4行目を入れ替えます。

$\left[\begin{array}{cccc|c}

1 & -1 & 3 & 4 & -1 \\

0 & 1 & 3 & 3 & 2 \\

0 & 0 & -5 & -3 & -2 \\

0 & 4 & -5 & 2 & 0

\end{array}\right]$

5. 4行目から2行目の4倍を引きます。

$\left[\begin{array}{cccc|c}

1 & -1 & 3 & 4 & -1 \\

0 & 1 & 3 & 3 & 2 \\

0 & 0 & -5 & -3 & -2 \\

0 & 0 & -17 & -10 & -8

\end{array}\right]$

6. 4行目から3行目の-17/5倍を引きます。

$\left[\begin{array}{cccc|c}

1 & -1 & 3 & 4 & -1 \\

0 & 1 & 3 & 3 & 2 \\

0 & 0 & -5 & -3 & -2 \\

0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{6}{5}

\end{array}\right]$

ここから、各変数の値を逆算します。

4行目より、$\frac{1}{5}w = -\frac{6}{5}$。よって、$w = -6$。

3行目より、$-5z - 3w = -2$。$w = -6$を代入して、$-5z - 3(-6) = -2$。$-5z + 18 = -2$。$-5z = -20$。よって、$z = 4$。

2行目より、$y + 3z + 3w = 2$。$z = 4$、$w = -6$を代入して、$y + 3(4) + 3(-6) = 2$。$y + 12 - 18 = 2$。$y - 6 = 2$。よって、$y = 8$。

1行目より、$x - y + 3z + 4w = -1$。$y = 8$、$z = 4$、$w = -6$を代入して、$x - 8 + 3(4) + 4(-6) = -1$。$x - 8 + 12 - 24 = -1$。$x - 20 = -1$。よって、$x = 19$。

3. 最終的な答え

$x = 19, y = 8, z = 4, w = -6$