次の方程式、不等式を解く。 (1) $2^{3x} - 2^{2x+2} + 2^x + 6 = 0$ (2) $3^{x+1} \leq 11 + 4 \cdot 3^{-x}$ (3) $\log_2 \frac{x}{4^3} + \log_x 4^4 < 0$ (ただし、$x > 1$) (4) $x^{\log_{10} x} = \frac{x^3}{100}$

はい、承知いたしました。問題集368の(1)～(4)を解きます。

1. 問題の内容

次の方程式、不等式を解く。

(1) $2^{3x} - 2^{2x+2} + 2^x + 6 = 0$

(2) $3^{x+1} \leq 11 + 4 \cdot 3^{-x}$

(3) $\log_2 \frac{x}{4^3} + \log_x 4^4 < 0$ (ただし、$x > 1$)

(4) $x^{\log_{10} x} = \frac{x^3}{100}$

2. 解き方の手順

(1)

$2^{3x} - 2^{2x+2} + 2^x + 6 = 0$

$2^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2^x + 6 = 0$

$t = 2^x$とおくと、$t > 0$.

$t^3 - 4t^2 + t + 6 = 0$

$(t+1)(t^2-5t+6) = 0$

$(t+1)(t-2)(t-3) = 0$

$t = -1, 2, 3$.

$t > 0$より、$t=2,3$.

$2^x = 2$のとき、$x=1$.

$2^x = 3$のとき、$x = \log_2 3$.

(2)

$3^{x+1} \leq 11 + 4 \cdot 3^{-x}$

$3 \cdot 3^x \leq 11 + \frac{4}{3^x}$

$t = 3^x$とおくと、$t>0$.

$3t \leq 11 + \frac{4}{t}$

$3t^2 \leq 11t + 4$

$3t^2 - 11t - 4 \leq 0$

$(3t+1)(t-4) \leq 0$

$-\frac{1}{3} \leq t \leq 4$

$t > 0$より、$0 < t \leq 4$.

$0 < 3^x \leq 4$

$x \leq \log_3 4$

(3)

$\log_2 \frac{x}{4^3} + \log_x 4^4 < 0$ ($x > 1$)

$\log_2 x - \log_2 4^3 + 4 \log_x 4 < 0$

$\log_2 x - 6 + \frac{4 \log_2 4}{\log_2 x} < 0$

$\log_2 x - 6 + \frac{8}{\log_2 x} < 0$

$t = \log_2 x$とおくと、$x > 1$より、$t > 0$.

$t - 6 + \frac{8}{t} < 0$

$t^2 - 6t + 8 < 0$

$(t-2)(t-4) < 0$

$2 < t < 4$

$2 < \log_2 x < 4$

$2^2 < x < 2^4$

$4 < x < 16$

(4)

$x^{\log_{10} x} = \frac{x^3}{100}$

両辺の常用対数をとる。

$\log_{10} x^{\log_{10} x} = \log_{10} \frac{x^3}{100}$

$\log_{10} x \cdot \log_{10} x = \log_{10} x^3 - \log_{10} 100$

$(\log_{10} x)^2 = 3 \log_{10} x - 2$

$t = \log_{10} x$とおくと

$t^2 = 3t - 2$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

$(t-1)(t-2) = 0$

$t=1,2$

$\log_{10} x = 1$のとき、$x = 10$.

$\log_{10} x = 2$のとき、$x = 100$.

3. 最終的な答え

(1) $x=1, \log_2 3$

(2) $x \leq \log_3 4$

(3) $4 < x < 16$

(4) $x=10, 100$