3次方程式 $x^3 - x - 3 = 0$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - x - 3 = 0$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

この3次方程式は、整数解を持ちそうにないので、まず有理根定理を使って有理数解が存在するか確認します。有理根定理によると、もし有理数解 $p/q$ が存在する場合、$p$ は定数項 $-3$ の約数、 $q$ は最高次項の係数 $1$ の約数である必要があります。したがって、候補となる有理数解は $\pm 1, \pm 3$ です。

これらの値を $x^3 - x - 3$ に代入してみます。

* $x = 1$ のとき: $1^3 - 1 - 3 = -3 \neq 0$

* $x = -1$ のとき: $(-1)^3 - (-1) - 3 = -1 + 1 - 3 = -3 \neq 0$

* $x = 3$ のとき: $3^3 - 3 - 3 = 27 - 3 - 3 = 21 \neq 0$

* $x = -3$ のとき: $(-3)^3 - (-3) - 3 = -27 + 3 - 3 = -27 \neq 0$

したがって、この方程式は有理数解を持ちません。

カルダノの公式を用いることも考えられますが、計算が煩雑になるため、ここでは近似解を求めることを考えます。

$f(x) = x^3 - x - 3$ とおくと、$f(1) = -3 < 0$ かつ $f(2) = 8 - 2 - 3 = 3 > 0$ であるため、中間値の定理より、1と2の間に少なくとも一つの実数解が存在します。

数値解法 (例えばニュートン法) を用いて近似解を求めることにします。

ニュートン法では、漸化式 $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ を用います。

$f(x) = x^3 - x - 3$ より、$f'(x) = 3x^2 - 1$ となります。

したがって、漸化式は $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 - x_n - 3}{3x_n^2 - 1}$ となります。

初期値 $x_0 = 2$ として計算してみます。

* $x_1 = 2 - \frac{2^3 - 2 - 3}{3(2^2) - 1} = 2 - \frac{3}{11} = \frac{19}{11} \approx 1.727$

* $x_2 = \frac{19}{11} - \frac{(\frac{19}{11})^3 - \frac{19}{11} - 3}{3(\frac{19}{11})^2 - 1} \approx 1.673$

近似解は $x \approx 1.673$ となります。

3. 最終的な答え

近似解：$x \approx 1.673$