2次方程式 $x^2 + (m+2)x + m + 5 = 0$ が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (m+2)x + m + 5 = 0$ が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D=0$ となることです。

まず、与えられた2次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = (m+2)^2 - 4(1)(m+5)$

$D = m^2 + 4m + 4 - 4m - 20$

$D = m^2 - 16$

重解を持つ条件 $D=0$ を満たす $m$ を求めます。

$m^2 - 16 = 0$

$(m - 4)(m + 4) = 0$

$m = 4$ または $m = -4$

次に、$m = 4$ のとき、2次方程式は $x^2 + (4+2)x + 4 + 5 = 0$ となり、$x^2 + 6x + 9 = 0$ となります。

これは $(x + 3)^2 = 0$ と変形できるので、重解は $x = -3$ です。

$m = -4$ のとき、2次方程式は $x^2 + (-4+2)x - 4 + 5 = 0$ となり、$x^2 - 2x + 1 = 0$ となります。

これは $(x - 1)^2 = 0$ と変形できるので、重解は $x = 1$ です。

3. 最終的な答え

$m = 4$ のとき、重解は $x = -3$

$m = -4$ のとき、重解は $x = 1$